$$\underline{\int}_a^bfd\alpha\leq \overline{\int}_a^bfd\alpha$$

 

证明：我们先分析为什么它对于Riemann积分会成立.我们发现之所以对于Riemann积分会成立的缘故，乃是由于结合"两个划分的加细"，再结合下面的关系

设$m_1\leq m_2$，且$a\leq b$,则$a(m_2-m_1)\leq b(m_2-m_1)$.

我们知道，$m_1$和$m_2$经过$\alpha$的作用后分别变成$\alpha(m_1)$和$\alpha(m_2)$.由于$\alpha$的单调递增性质，$\alpha(m_1)\leq \alpha(m_2)$仍然成立.因此下面这条性质仍然成立：

$$a(\alpha(m_2)-\alpha(m_1))\leq b(\alpha(m_2)-\alpha(m_1))$$

可见，单调递增函数$\alpha$在的保持序关系(实数的大小)的性质在此发挥了重大作用.